多元统计分析报告
——按收入等级分家庭平均每人全年购买力差异
1、问题背景：
1.1 数据来源：
数据完全来源于《中国统计年鉴》2010年的数据统计，原统计数据总共统计2010年各个等级家庭平均购
买的物品有17种，考虑到自身对多元统计的不娴熟，因此只节选了其中的12种。
1.2 问题背景：
近10年来，随着中国经济的飞速发展，城镇居民的贫富差距也在日益的增加。本文通过2010年居民购买
普通消费品数量差距的统计数据，针对我国8中不同收入等级的居民家庭做了多元统计分析。根据此分
析，可以看出家庭收入水平对日常消费品购买力的各种影响，并且可以看出各个收入等级的消费水平以
及全民平均水平。针对其结果分析，结合实际对我国的日常消费品在价格方面做出合理的建议，为经济
市场的优化完善略尽薄力。
2、分析方法介绍：
2.1 因子分析
因子分析模型是主成分分析的推广。它也是利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系
出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方法。相对于主
成分分析，因子分析更倾向于描述原始变量之间的相关关系；因此，因子分析的出发点是原始变量的相
关剧增。因子分析的思想始于1904 年查尔斯·斯皮尔曼对学生考试成绩的研究。
2.1.1 因子分析思想
因子分析思想是把联系较为紧密的变量归为同一个类别，而不同类别的变量之间的相关性则较低。在同
一个类别内的变量，可以想象是受到了某个共同因素的影响才彼此高度相关的，这个共同因素也称之为
公共因子，它是潜在的并且是不可观测的。因子分析反映了一种降维的思想，通过降维将相关性高的变
量聚在一起，不仅便于提取容易解释的特征，而且降低了需要分析的变量数目和问题分析的复杂性。
2.1.2 因子分析模型
一般因子分析模型：设有n 个样品，每个样品观察p 个指标，这p 个指标之间有较强的相关性（要求p 个
指标相关性较强的理由是很明确的，只有相关性较强才能从原始变量中提取出“公共”因子）。为了便于
研究，并消除由于观测量纲的差异及数量级不同所造成的影响，将样本观测数据进行标准化处理，使标
准化后的变量均值为0 ，方差为1。
2.1.3 因子分析步骤
A） 确定因子载荷：主成分法、主轴因子法、最小二乘法、极大似然法、α因子提取法等。由于这些方
法求解因子载荷的出发点不同，所得的结果也不完全相同，为此我们就本论文所用到的主成分法寻找公
共因子的方法做详细介绍。主成分寻找公共因子的方法如下：假定从相关阵出发求解主成分没有p个变
量，则我们可以找出p 个主成分。将所得的p个主成分按由大到小的顺序排列，记为Y 1 ,Y2 ,...,YP,则主成
分与原始变量之间存在如下关系式:
{ (1)
式中， 为随机向量X 的相关矩阵的特征值所对应的特征向量的分量，因为特征向量之间彼此正交，从
X 到Y 的转换关系是可逆的，很容易得出由Y 到X 的转换关系为：
{ (2)
我们对上面每一等式只保留前m 个主成分而把后面的部分用 代替，则 式可变为：
这个式子在形式上已经与因子模型相一致，且 之间相互独立，为了把Y 转化成合适的公
i
因子，现在要做的工作只是把主成分Y 变为方差为1 的变量。为完成此变换，必须将Y 除以其标准差
i i
（即为特征根的平方根 。于是，令： ，则 式变为：
这与因子模型完全一致，这样，就得到了载荷A 矩阵和一组初始公因子（未旋转）。
B) 因子旋转：因子旋转分为正交旋转与斜交旋转，正交旋转由初始载荷矩阵A左乘一正交阵而得到。经
过正交旋转而得到的新的公因子仍然保持彼此独立的性质。而斜交旋转则放弃了因子之间彼此独立这个
限制，因而可能达到更为简洁的形式，其实际意义也更容易解释。但不论是正交旋转还是斜交旋转，都
应当使新
